1.1集合与映射

集合的定义：用来表示一定事物的集体称之为集合，组成集合的内容称之为集合的元素。
例如：a是集合A的元素，则称a属于A，记作：a∈A，否则就是a∉A。
不含有任何元素的集合称为空集合。记作：∅ 。

常见集合字母代表的含义：

• N为全体自然数组成的集合
• Z为全体整数代表的集合
• Q为全体有理数代表的集合
• R为全体实数组成的集合
• C为全体复数组成的集合

子集，交集，差集，并集，合集，积

A是B的子集：A ⊆ B，A与B的交集：A ∩ B，A与B的并集：A∪B，A与B的差集：A-B={x|x∈A且x∉B}，A与B的合集：A+B={a+b|a∈A,b∈B}，A与B的积：A×B={(a,b)<这是内积>|a∈A,b∈B}。

1.1.1 映射的概念

A，B两个非空集合，通过一个对应的法则使得集合A中的每一个元素x都有集合B中的一个唯一的元素y确定，记作f：A➡B(表示f是A到B的一个映射)。
如果A的元素x对应的是B的元素是y，则记作f(x)=y。其中y叫做元素x在f下的象，x叫做y在f下的原象。A在f下的象的集合记作f(A)={f(x) | x∈A}。

1.1.2 映射相等

设g、f都是A到B的映射，如果 ∀ x∈A，都有f(x) = g(x)，则称映射f与g相等。

1.1.3 满射

设f是A到B的一个映射，如果f(A) = B，则称f是满射。

1.1.4 单射

设f是A到B的一个映射。如果对于A中的任意两个元素X₁和X₂当X₁≠X₂时，有f(X₁)≠f(X₂)，则f是一个单射。

1.1.5 f既是单射又是满射

满足两个条件：1. f(A) = B。2. ∀ X₁,X₂∈A，若 f(X₁)=f(X₂)，X₁=X₂ 。

1.2线性空间及其性质

1.2.1 线性空间的定义

设P是一个数域，P中的元素用a，b，c来表示，令V是一个非空集合，V中的元素用α，β，γ来表示。我们把V中的元素称为向量，P中的元素称为纯量。如果满足：
1：对于V中任意两个向量α和β，使得α+β有V中一个唯一确定的向量与他们对应，这个向量是α和β的和，记作α+β；
2：对于P中每一个纯量a和V中每一个向量α，使得a乘上α有V中一个唯一确定的向量与他们对应，这个向量叫做a与α的积，记作aα；

验证是否满足线性空间就是检验是否满足加法和乘法。

1.2.2 运算律

• α,β,γ是V中任意向量，a.b是P中的纯量
• α+β = β+α
• (α+β)+γ = α+(β+γ)
• V中存在一个零向量，记作0，则0+α = α
• 对于V中的每一个α，在V中存在一个α'，使得α+α' = 0，α'称为负向量，α' = -α
• a(α+β) = aα+aβ
• (a+b)α = aα+bα
• (ab)α = a(bα)
• 1·α = α
• 向量的差：α-β
• 0α = 0，α0 = 0
• a(-α) = (-a)α = -aα
• aα = 0 ==> a=0或者α=0
• α+β = γ <==> α = γ-β

1.2.3 零向量

在线性空间V中，零向量是唯一的；对于V中的任意向量α，其负向量也是唯一的。